今天我们看这样一个问题：
设 E_1 \subseteq E_2 \subseteq \cdots \subseteq E_n \subseteq \cdots，试证：\displaystyle m^*\left(\bigcup_{n=1}^{\infty}E_{n}\right)=\operatorname*{lim}_{n\rightarrow\infty}m^{*}E_{n}.
我们实际上已知，对于 E_n 可测的情况，有 \displaystyle m\left(\bigcup_{n=1}^{\infty}E_{n}\right)=\operatorname*{lim}_{n\rightarrow\infty}mE_{n} 成立。
对比一下可知，此题没有要求 E_n 可测，相应的结论也只能推导出对外测度成立。而这也正是此题的难点。
为了方便，我们记 \displaystyle E=\bigcup_{n=1}^{\infty}E_{n}.
一般对于这类不容易直接证明相等的等式都有一个通用的思路，那就是分别证明左右都大于等于另一边，这样就能说明两边相等。
由于
那么显然有
故接下来只要证明 \displaystyle \operatorname*{lim}_{n\rightarrow\infty}m^{*}E_{n} \ge m^*E 即可。
在外测度的性质中，似乎并没有能推出这个不等式的结论。所以我们需要自行按照定义构建外测度。
接下来我们先不要急着去证明，先想一想证明的思路，给出一个 “rough idea” 后再着手。
我们的目标是证明 \displaystyle \operatorname*{lim}_{n\rightarrow\infty}m^{*}E_{n} \ge m^*E. 现在回头看一下证明小于等于的步骤，本质上是找了一列集合，这一列集合每一个都比 E 小，但是最终极限趋近于 E. 那么我们能否找到另一个集合，这个集合每一个都比 E 大，但最终趋向 E 呢？
！注意：在第二章我们还没有学习集合极限的定义，所以直接这么写是不正确的。不过，这种思想能带领我们我们找到正确的证明方式。
再仔细审一遍题目，题目让我们求外测度的关系。聪明的你立即想到，外测度的定义正是包含集合的开集的测度的下确界。那不就是在说能找到一列包含 E 的集合最终趋向于 E 吗！
所以我们自然而然地想到，通过外测度定义有
但是这一列开集 G_n 还是太大了。我们需要的是一列集合，这列集合最好有以下性质：
- 这列集合可测；
- 这列集合总是包含 E_n；
- 这列集合的测度接近 E_n 的外测度，最好是相等；
- F_n 是随 E_n 逐渐扩张的，这样就能像之前一样能够导出不等式了。
我们有下面这个构造满足以上条件：
想不到这个构造很正常。不过你现在知道了。这是一个常用手法，用于构造一列渐开的集合。在很多时候都会用到。
于是我们有
故
又由于 F_n 可测，即
此时
由于 \epsilon 的任意性，当 \epsilon \rightarrow 0 时有
于是我们有
所以
这就证明了这个问题。
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