Egorov 定理是实变函数中非常重要的一个定理, 它的本质是给出一个从几乎处处收敛推得一致收敛的额外条件.
我们先看定理在说什么:
设 E 是可测集且满足三个条件:
- mE<\infty;
- f_n\left(x\right) 与 f\left(x\right) 在 E 上可测且几乎处处有限;
- f_n\left(x\right) 几乎处处收敛于 f\left(x\right).
则存在 E_\delta 使得:
- E_\delta\in E;
- m\left(E-E_\delta\right)\lt \delta;
- f_n\left(x\right) 在 E_\delta 上一致收敛于 f(x).
书上的证明过程分为两步, 简单来说, 第一步是在构造 E_\delta 而第二步是在证明 f_n\left(x\right) 在 E_\delta 上一致收敛.
我们在学习的过程中不要依赖于书上的证明, 因为书上的证明缺少了思考的步骤. 下面请丢掉课本, 随我一起思考证明过程.
直觉理解
我们要相信一个事实: 绝大多数人都不是拉马努金, 再难的定理也不是睡一觉就发现的. 所以第一步我们需要直观地理解这个定理, 也就是说, 证明定理之前首先要在直觉上说服自己.
总体来说, Egorov 定理自然成立的原因是:
"几乎处处收敛" 本来就只允许在零测集上失败.
而 Egorov 更进一步说:
- 不仅失败点是零测的;
- 连 "收敛速度很乱" 的点, 也可以压缩到一个任意小测度的集合里.
所以它把 "点态上几乎正确" 强化成了:
- 在绝大多数地方, 不但正确, 而且正确得很整齐.
这就是 "一致收敛" 的思想.
具体地, 先来回顾一下两者定义:
几乎处处收敛:
函数列 F_n(x) 在除了一个零测度集 N 以外, 全部都收敛到 F(x).
即
\exist N 为零测集使得 \forall \epsilon \gt 0, \;\forall x \in E-N, \; \exist N_0\in \mathbb{N}_+ 使得 n\gt N_0 时有 \left|f_n(x)-f(x)\right|<\epsilon
一致收敛:
对任意 \epsilon\gt 0, 都能找到统一的起点 N_0, 使得以后对所有点都满足误差 \lt \epsilon.
即
\forall \epsilon \gt 0, \; \exist N_0\in \mathbb{N}_+ 使得 n\gt N_0 时 \forall x \in E 有 \left|f_n(x)-f(x)\right|<\epsilon
注意到这其中有两个地方不一样:
- 定义域不同: 几乎处处收敛相比一致收敛少了一个零测集 N.
- N_0 的参数不同: 几乎处处收敛的 N_0 与 x 有关而 一致收敛的 N_0 与 x 无关.
这就是几乎处处收敛相比于一致收敛较弱的原因. Egorov 定理的思想就是: 如果在几乎处处收敛的情况下限制了这两点, 就能推出一致收敛了.
好, 我们简单验证一下 Egorov 定理的限制. 注意, 此处只是方便理解, 有一些点是不严谨的, 但它们的方向是正确的, 会对证明思路有很大帮助.
-
存在 E_\delta 使得 m\left(E-E_\delta\right)\lt \delta,
这也就是说剔去一个零测集后成立, 与第一点吻合.
-
f_n\left(x\right) 与 f\left(x\right) 在 E 上可测且几乎处处有限.
有限就意味着对每一点来说, 趋近于 f(x) 的效率是有限制的. 也就是说, 那些 "收敛速度很乱" 的点很少, 甚至测度可以趋于无穷小, 从而可以把它们去掉. 而去掉它们之后就可以找到不以依赖 x 的 N_0 了.
-
mE<\infty
上面的条件是限制了每个点收敛的速度, 而这条是限制了收敛在定义域上的扩展性. 如果 E 的测度到达了无穷, 那么可以构造出一个例子, 虽然每个点都在有限个点不收敛, 也就是说它逐点收敛, 但是这个不收敛区间的定义域前往了无穷. 这样依旧不能说明一致收敛. 这一点在后面会举例子说明, 不过请记住这一点, 因为它看起来对定理帮助不大, 但是也是不可缺少的条件.
开始证明
我们按照书上的思路来.
在上面的分析中, 我们知道实际上 E_\delta 就是把 E 去掉两种点: 几乎处处有限中的失败点和收敛速度很乱的点.
不过事实上几乎处处有限中的失败点本来就是零测集, 所以我们可以直接丢弃它们, 反正最后找到的 E_\delta 要和 E 差的足够小.
故令 E^*=E\left(\left|f\right|=\infty\right)\cup\bigcup_{n=1}^\infty E\left(|f_n|=\infty\right), 必要时使用 E-E^* 代替, 之后的证明过程中不妨设 f_n 与 f 处处有限.
第一步: 构造 E_\delta
那么接下来只需要处理那些收敛速度很乱的点了. 这种点我们可以直接定义, 令
我们知道对于固定的 \epsilon\ge0 来说 E_n 上的点是不收敛的. 接下来, 我们只要证明这个集合的测度趋近于 0 就可以了.
直接证明它趋近于 0 实际上是不好证的. 这时候我们需要换一个方式. 这个方式比较难想到, 但是也属于一种常规操作. 使用 尾部并集 将它转换为一个渐张/渐缩集列, 而这种集列极限与测度是可以互换的, 会有意想不到的效果. (其实在前面的博客中已经使用过这种技巧了)
我们令
于是 R_n\left(\epsilon\right) 是一个渐缩集列, 我们有
我们知道 f_n 在 \overline{\lim}\, E_{n} 上不收敛 (实际上这是一个引理, 不过比较简单, 我们按下不表, 交给读者解决) 而我们已经假设 f_{n}(x)\xrightarrow{a.e.}f(x), 故有 m\left(\,\overline{\lim}\, E_{n}\right)=0.
好了, 我们已经证明的是, E 上收敛很乱的点的集合测度趋近于 0, 接下来我们就要通过它构造 E_\delta 了.
我们需要的是, 对于任意 \delta\gt 0 有 m\left(E-E_\delta\right)\lt \delta, 并且 f_n 在 E_\delta 上一致收敛. 我们把一致收敛的定义写开:
为了完成一致收敛的条件, 我们得对任意的 \eta 成立. 实际上, 我们知道 R_n(\epsilon)\rightarrow 0, 那么我们可以使用存在 k\in \mathbb{N} 使得 R_k(\epsilon)<\eta 的特点把 "任意 \epsilon" 与 "任意 \eta" 表示出来 (这是一致收敛要求的) .
既然 \eta 是随意选取的, 那么就可以以 \delta 为上界 (因为 \delta也是随意选取的) , 选出一堆 \eta 让它们加起来等于 \delta, 把这一堆不等式相加, 左边那些并起来不就是我们要的 E-E_\delta 了吗？
于是, 我们取 \eta=\dfrac{\delta}{2^r},\;\epsilon=\dfrac{1}{2^r}. 它涵盖所有 \epsilon 和 \eta 的情况, 并且 \eta 的选取是使得它们累加起来等于 \delta. 实际上, \epsilon 的选取不是那么严格, 只要表现出任意性即可. 使用 \epsilon=\dfrac{1}{r} 也是可以的, 只不过书上是这么选取的, 所以我们也这么干. 于是, 我们取得一连串 k_r 满足 R_{k_r}(\epsilon)<\eta. 将他们并起来取测度得
我们把左边这一堆并起来的集合记为 S, 而 E_\delta 正是去掉 S 之后的集合, 即 E_\delta=E-S.
第二步: 证明 f_n 在 E_\delta 上一致收敛
有了上面的分析, 这一步尤为简单.
由于我们剔除了 S, 那么剩下来的所有 x\in E_\delta 都有 x\notin S, 也就是说, 对任意 r 都有 |f_n(x)-f(x)|<\frac{1}{2^r}, 这对所有 x\in E_\delta 都成立, 这就说明了 f_n 在 E_\delta 上一致收敛.
拓展性思考
实际上 mE\lt\infty 这个条件是很容易被遗忘的. 我需要你回头看一看上方的证明, 看一看哪一步用到了这个条件 (事实上是我在上方证明时故意没有写这个条件, 但它的确被用到了) .
这个条件的作用在最初思考的时候提了一嘴, 不知道你们还记得没有. 通过下面的反例就能更加直观地了解这个条件的作用.
考虑 \mathbb{R} 上的函数列
每个 f_n(n\in\mathbb{N}) 是 \mathbb{R} 上的可测函数, 且易见函数列 \{f_n(x)\} 在 \mathbb{R} 上处处收敛于零 (n\to\infty). 但是对 \varepsilon=1/2, 有
因此定理中所述的 E_\delta 对于 \delta=1 不存在.
所以, 实际上这个条件是为了否定 "坏行为可以一路跑到无穷远处" 的情形. 如果是这样子, 那自然不能一致收敛. 因此, 理论上只要把这种情况排除, 我们就可以放弃 mE\lt\infty 这个前提, 给出一个更强的 Egorov 定理.
不过, 排除这种情况如何使用数学语言说明呢？这是一个挑战. 把它交给读者完成吧！
提示: 不好定义无穷远处的定义域的话, 试着定义它的补集会有帮助哦！
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