从今天开始，更新每日一题. 每天挑选一些题目，将解题思路记录在这里. 范围很广，关键在于持续地练习而不是精华题目. 精华题目会单独开一篇文章讲解.
\displaystyle\text{设 }x_{n+1}=\ln\left(1+x_n\right),n=1,2,\cdots,x_1>0,\text{计算}\lim_{n\to\infty}\frac{n(nx_n-2)}{\ln n}.
首先，\{x_n\} 是一个递推数列. 显然它趋近于不动点 0. 再观察需要证明的等式，如果它要被计算，首先 nx_n 要趋近于 2. 于是第一步：证明 nx_n \to 2 \; (n\to \infty).
在这里我们使用 Stolz 定理就能很轻松证明.
\begin{aligned}
\lim_{n\rightarrow\infty}nx_{n}&=\lim_{n\rightarrow\infty}\dfrac{n}{\frac{1}{x_{n}}} \\
&=\lim_{n\rightarrow\infty}\dfrac{1}{\frac{1}{x_{n+1}}-\frac{1}{x_n}} \\
&=\lim_{x\rightarrow 0}\dfrac{x \ln\left(1+x\right)}{x-\ln\left(1+x\right)} \\
&=2
\end{aligned}
接下来，我们把题目中的 nx_n 提出去，就可以继续使用 Stolz 定理：
\begin{aligned}
\lim_{n\to\infty}\dfrac{n(nx_n-2)}{\ln n}&=2\lim_{n\to\infty}\dfrac{n-\frac{2}{x_n}}{\ln n} \\
&=2\lim_{n\to\infty}\dfrac{1-\frac{2}{x_{n+1}}+\frac{2}{x_{n}}}{\ln\frac{n+1}{n}} \\
&=4\lim_{n\to\infty}\dfrac{1-\frac{2}{x_{n+1}}+\frac{2}{x_{n}}}{x_n} \qquad (\text{利用 }\ln\left(\dfrac{n+1}{n}\right) \sim \dfrac{1}{n} \sim \dfrac{x_n}{2} ) \\
&=4\lim_{x\to 0}\dfrac{1-\frac{2}{\ln\left(1+x\right)}+\frac{2}{x}}{x} \\
&=4\lim_{x\to 0}\dfrac{x\ln\left(1+x\right)-2x+2\ln\left(1+x\right)}{x^2\ln\left(1+x\right)} \\
&=4\lim_{x\to 0}\dfrac{x\left(x-\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{3}x^3+o\left(x^3\right)\right)-2x+2\left(x-\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{3}x^3+o\left(x^3\right)\right)}{x^2\left(x-\frac{1}{2}x^2+o\left(x^2\right)\right)} \\
&=4\lim_{x\to 0}\dfrac{\frac{x^3}{6}+o\left(x^3\right)}{x^3+o\left(x^3\right)} \\
&=\dfrac{2}{3}
\end{aligned}
\displaystyle\text{设 }x_{n+1}=\sin x_n,n=1,2,\cdots,x_1\in(0,\pi),\text{计算}\lim_{n\to\infty}\frac{n}{\ln n}\left(1-\sqrt{\frac{n}{3}}x_n\right).
同样的，显然 {x_n} 趋近于不动点 0. 且 x_n 应当趋近于 \sqrt{\frac{3}{n}}. 为了方便计算，我们证明 nx_n^2 趋近于 3.
\begin{aligned}
\lim_{n\to \infty}nx_n^2&=\lim_{n\to\infty}\frac{n}{\frac{1}{x_n^2}}=\lim_{n\to\infty}\frac{1}{\frac{1}{x_{n+1}^{2}}-\frac{1}{x_{n}^{2}}}=\operatorname*{lim}_{n\to\infty}\frac{1}{\frac{1}{\sin^{2}x_{n}}-\frac{1}{x_{n}^{2}}}=\operatorname*{lim}_{x\to0}\frac{x^{2}\sin^{2}x}{x^{2}-\sin^{2}x}=3.
\end{aligned}
于是
\begin{aligned}
\lim_{n\to\infty}\frac{n}{\ln n}\left(1-\sqrt{\frac{n}{3}}x_n\right)&=\lim_{n\to\infty}\frac{n}{\ln n}\left(1-\sqrt{\frac{n}{3}}x_n\right) \\
&=\lim_{n\to\infty}\frac{n\left(1-\frac{n}{3}x_n^2\right)}{\ln n\left(1+\sqrt{\frac{n}{3}}x_n\right)} \\
&=\lim_{n\to\infty}\frac{nx_n^2\left(\frac{1}{x_n^2}-\frac{n}{3}\right)}{\ln n\left(1+\sqrt{\frac{n}{3}}x_n\right)} \\
&=\frac{3}{2}\lim_{n\to \infty}\frac{\frac{1}{x_n^2}-\frac{n}{3}}{\ln n} \\
&=\frac{3}{2}\lim_{n\to \infty}\frac{\frac{1}{x_{n+1}^2}-\frac{1}{x_n^2}-\frac{1}{3}}{\ln\left(\frac{n+1}{n}\right)} \\
&=\frac{9}{2}\lim_{n\to\infty}\frac{\frac{1}{\sin^2x_n}-\frac{1}{x_n^2}-\frac{1}{3}}{x_n^2} \\
&=\frac{9}{2}\lim_{x\to0}\frac{\frac{1}{\sin^2x}-\frac{1}{x^2}-\frac{1}{3}}{x^2} \\
&=\frac{3}{10}.
\end{aligned}
这两道题目都是相同的类型. 下面还有一道相似的题目留作练习.
\displaystyle\text{设 }x_1=1,x_{n+1}=x_n+\frac{1}{x_n},n=1,2,\cdots,\text{计算} \lim_{n\to\infty}\frac{\sqrt{2n}\left(x_n-\sqrt{2n}\right)}{\ln n}.
这一类题目是最基本的数列极限的综合题目，用到了许多的技巧. 通常包含估阶、Taylor展开、等价无穷小（大）替换、代数变形、Stolz 定理等. 虽然比较繁琐，但是解题思路都相差不大.
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