一道较难的极限计算题-孤寂之森

我们从北京大学的一道考研题开始.

设x_0=1,x_n=x_{n-1}+\cos x_{n-1},n\in\mathbb{N},证明

\lim_{n\to\infty}n^n\left(x_n-\frac\pi2\right)=0.

首先, 对于递推数列, 我们可以得到 x_n 的趋近于它的不动点 \frac{\pi}{2}.

那么, 对于我们要求的式子, 实际上是要证明 x_n-\frac{\pi}{2} 趋近于 0 的速度比 n^n 趋向于无穷的速度快.

所以我们需要对 x_n-\frac{\pi}{2} 进行估阶.

递推式估阶

我们先从简单的估阶问题开始: x_{n+1}=\ln(1+x_{n}) 的等价无穷小是多少？

我们尝试直接相减:

\begin{aligned} x_{n+1}-x_n &=\ln\left(1+x_n\right)-x_n \\ &=x_n-\frac{1}{2}x_n^2+O\left(x_n^3\right)-x_n \\ &=-\frac{1}{2}x_n^2+O\left(x_n^3\right) \end{aligned}

这说明, x_n 的递减规律与 x_n 本身有关, 大概是自己的平方级别.

这样子是不好写它的等价形式的, 所以我们把它做一个变形, 我们讨论数列 \left\{\dfrac{1}{x_n}\right\}, 计算过后我们可以发现它几乎是一个等差数列.

Wait, wait, wait, why？验证它几乎是等差数列很简单, 只需要一顿计算即可:

\begin{alignedat}{4} {} &\quad& x_{n+1} &{}={}&{}& x_n-\frac12 x_n^2+o(x_n^2) \\ \Rightarrow &\quad& x_{n+1} &{}={}&{}& x_n\left(1-\frac12 x_n+o(x_n)\right) \\ \Rightarrow &\quad& \frac1{x_{n+1}} &{}={}&{}& \frac1{x_n}\cdot\frac1{1-\frac12 x_n+o(x_n)} \\ \Rightarrow &\quad& \frac{1}{x_{n+1}} &{}={}&{}& \frac{1}{x_n}\left(1+\frac{1}{2}x_n+o(x_n)\right) \\ \\ \Rightarrow &\quad& \frac{1}{x_{n+1}}-\frac{1}{x_n}&{}={}&{}& \frac{1}{2}+o(1) \end{alignedat}

但但但但这也太巧了吧？！这谁想得出来啊！数学不是这个样子的😨！你要先分析问题, 找到一个大概的思路☝, 然后顺着这个思路慢慢寻找答案, 再通过想要的结论反过来构造论证😮, 最后从头到尾顺下来一个完整的解答啊😃！你怎么上来就能给出一个构造满足要求！😡？数学根本不是这样的😡！我不能接受😡！！！

我们来分析分析它. 我们知道 x_{n+1}-x_n\approx-\frac{1}{2}x_n^2, 那么如果我们将 x_n 看作一个连续而不是离散的变量 (因为在 n 足够大的时候两项之间的差足够小) , 我们就会发现实际上这个等式实际上就是一个微分方程 (事实上这并不等价, 但是不妨碍我们使用它来理解)

x_{n+1}-x_n=\frac{x_{n+1}-x_n}{(n+1)-n}=\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}n}\approx-\frac{1}{2}x^2

解这个微分方程 (用分离变量法即可) , 我们发现正是上面的构造:

x\sim \frac{2}{n}

哦！哦！哦！我算是知道它怎么来的了, 这下舒服了.

实际上, 如果你的想象力够丰富的话, 其实可以注意到 x_{n+1}-x_n\approx-\frac{1}{2}x_n^2 实际上可以扩展:

x_{n+1}-x_n\approx-\frac{1}{2}x_n^2\approx-\frac{1}{2}x_{n+1}x_n

把 x_{n+1}x_n 除过去:

\frac{x_{n+1}-x_n}{x_{n+1}x_n}=-\frac{1}{2}

哦吼？好巧合哦.

好了, 既然这样我们就可以估阶了, 因为我们已经掌握了等差数列求和的方法.

\frac{1}{x_{n+1}}-\frac{1}{x_n} = \frac{1}{2}+o(1)

将两边从 n=1 累加到 n-1, 得到

\frac{1}{x_{n}}-\frac{1}{x_1}=\frac{n-1}{2}+o(n)

将 \dfrac{1}{x_1} 移项后取倒数, 得

x_{n}=\frac{2}{n}+O\left(\frac{1}{n}\right)

当然, 在之前 Taylor 展开的时候保留更多项, 最后得到的精度也会提高.

事实上, 这里我们需要记忆一件事: 一般情况下, 遇到 x_{n+1}-x_n= 某关于 x_n 的二次以上多项式, 我们就可以猜测 \left\{\dfrac{1}{x_n^\alpha}\right\} 是等差数列, 从而完成估阶.

事实上可以简单记忆: 满足递推式 Taylor 展开一次项系数为 1 的数列都可以通过这种方式估阶.

回到问题

这个问题的递推式 x_n=x_{n-1}+\cos x_{n-1} 比较复杂. 如果我们将其作 Taylor 展开 (在不动点 \frac{\pi}{2} 上) , 会发现一次项系数不为 1:

x+\cos x= \frac{\pi}{2}+\frac{1}{6}\left(x-\frac{\pi}{2}\right)^3+O\left[\left(x-\frac{\pi}{2}\right)^5\right]

另: 每次都写 x-\frac{\pi}{2} 太繁琐了, 我们直接令 y_n=x-\frac{\pi}{2}, 这样写出来比较简洁. 并且这样写正好让 y_n 有简洁的递推式

y_n=y_{n-1}-\sin y_{n-1}=\frac{1}{6}y_{n-1}^3+O\left(y_{n-1}^5\right)

而它的一次项系数不为 1, 它甚至没有一次项. 相当于在告诉你 y_n\approx\frac{1}{6}y_{n-1}^3, 那这该如何求和呢？

凑递推式

事实上, 求一个数列的等价式一般用到的都是同一个方法: 将一个数列通过变形变成等比数列或等差数列, 这样子我们就可以累加或者累乘求得 y_n.

这道题的综合性非常高, 因为它需要用到两种变形方法.

仔细想想, 要把一个数列变成等比或等差数列, 那指数肯定不能固定不变. 所以第一步是要把指数取下来.

最常用到的方法应该可以想到: 取对数, 指数就可以拿到前面来当系数了.

所以我们有

\ln y_n = -\ln6+3\ln y_{n-1}+o\left(1\right)

这时候, 我们离计算出最终结果已经很近了.

实际上上面的式子是高中数列常见题型, 基础稍微好一点的同学应该一眼就看出思路了, 没看出来也没有关系, 实际上挺巧妙的, 下次遇见记得用.

两边同时除以 3^n 得

\frac{\ln y_n}{3^n} = \frac{-\ln6}{3^n}+\frac{\ln y_{n-1}}{3^{n-1}}+o\left(\frac{1}{3^n}\right)

这实际上是

\frac{\ln y_n}{3^n}-\frac{\ln y_{n-1}}{3^{n-1}}=-\frac{\ln6}{3^n}+o\left(\frac{1}{3^n}\right)

于是我们发现 \displaystyle\left\{\frac{\ln y_n}{3^n}-\frac{\ln y_{n-1}}{3^{n-1}}\right\} 是一个近似等比数列, 直接累加得

\begin{aligned} \frac{\ln y_n}{3^n} & =\ln y_1+\sum_{k=1}^n-\frac{\ln6}{3^n}+\sum_{k=1}^no\left(\frac{1}{3^k}\right) \\ &=\ln y_1-\frac{1}{2} \, 3^{-n} \left(3^n-1\right) \ln 6 + o\left(\frac{1}{3^n}\right) \\ &= C + \frac{1}{2} \, 3^{-n} \ln 6 + o\left(\frac{1}{3^n}\right) \end{aligned}

于是还原 y_n 得

y_n=e^{C\cdot3^n+\frac{\ln6}{2}+o(1)}=e^{C\cdot3^{n}}\cdot e^{\frac{1}{2}\ln6}\cdot e^{o(1)}=\sqrt{6}K^{3^{n}}\left(1+o\left(1\right)\right)

故最终得到

\lim_{n\to\infty}n^n\left(x_n-\frac{\pi}{2}\right)=-\lim_{n\to\infty}\sqrt{6}n^nK^{3^n}\left(1+o\left(1\right)\right)=0.

总结

事实上, 本文讲述了两种递推极限的计算方式, 一种是泰勒展开一次项系数等于 1 的, 另一种是不为 1 的. 对于一次项系数等于 1 的往往有通用的法则, 这也是上面 "递推式估阶" 一节讲到的方法, 它对文首提出的问题并无太大帮助, 但也是需要学习的一类问题. 对于一次项系数不为 1 的题目往往要将它们进行变换, 从而达到想要的效果, 但奈何它并没有一些通用的思路, 所以我们一定要注重于思维的练习而不是套路. 这也是编者一直在做的事情: 讲解思路而不是直接给出答案.

目录CONTENT

一道较难的极限计算题

递推式估阶

回到问题

凑递推式

总结

评论区