每日一题 - 002-孤寂之森

今天这几道题目来自 2026 考研数学一真题. 先写前面几道较为简单的题目.

17. 求函数 \displaystyle f(x,y)=\left(2x^2-y^2\right)\mathrm{e}^x 的极值.

直接求驻点并验证即可.

\begin{cases} f_x^{\prime}(x,y)=\left(2x^2-y^2+4x\right)\mathrm{e}^x=0 \\ f_y^{\prime}(x,y)=-2y\mathrm{e}^x=0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x=0 \\ y=0 \end{cases}\; \text{或}\; \begin{cases} x=-2 \\ y=0 \end{cases}

令

A=f_{xx}^{\prime\prime}(x,y)=\left(2x^{2}-y^{2}+8x+4\right)e^{x},\;B=f_{xy}^{\prime\prime}(x,y)=-2ye^{x},\;C=f_{yy}^{\prime\prime}(x,y)=-2e^{x}.

求得在 \left(0,0\right) 处 A=4,\;B=0,\;C=-2, 此时 AC-B^2<0, 不是极值点.

在 \left(-2,0\right) 处 A=-4\mathrm{e}^{-2},\;B=0,\;C=-2e^{-2}, 此时 AC-B^2>0, 是极值点, 极大值为 f\left(-2,0\right)=8\mathrm{e}^{-2}.

18. 设 f(u) 在区间 (0,+\infty) 内具有 3 阶连续导数, 且存在可微函数 F(x,y) 得到

dF(x,y) = \frac{f(xy)}{x^2 y} dx + \frac{f''(xy)}{x y^2} dy \quad (xy>0)

(1) 证明 \dfrac{f''(u)}{u} - \dfrac{f(u)}{u} = C, C 为常数;

(2) 设 f(1) = 1, f'(1) = -1, f''(1) = 0, 求 f(u) 的表达式.

(1) 由于题目的全微分条件（即 F 可微）, 故对于 \displaystyle P(x,y)=\frac{f(xy)}{x^2 y},\;Q(x,y)=\frac{f''(xy)}{x y^2} 满足 \displaystyle\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial Q}{\partial x}, 即

\frac{xyf^{\prime}(xy)-f(xy)}{x^2y^2}=\frac{xyf^{\prime\prime\prime}(xy)-f^{\prime\prime}(xy)}{x^2y^2}.

而令 xy=u, 这正好是分式求导后的结果, 于是我们有

\left[\frac{f(u)}{u}\right]'=\left[\frac{f''(u)}{u}\right]'

于是即得

\frac{f''(u)}{u} - \frac{f(u)}{u} = C.

(2) 由 (1) 可得 f''(u)-f(u)=Cu, 带入题目条件, 解得 C=-1.

于是解微分方程

f''(u)-f(u)=-u

它的特征根是 \lambda=\pm1, 即齐次通解为 f_h(u)=C_1e^u+C_2e^{-u}.

令特解 f_p(u)=au+b, 带入计算得 a=1,\;b=0, 即微分方程通解为

f(u)=C_1e^u+C_2e^{-u}+u

带入题目中的条件, 解得 C_1=-\mathrm{e}^{-1}, C_2=\mathrm{e}, 于是

f(u)=-e^{u-1}+e^{1-u}+u.

19. 设曲线L为椭圆x^2+3y^2=1上沿逆时针方向从点A\left(-\frac12,-\frac12\right)到点B\left(\frac12,\frac12\right)的部分, 计算曲线积分

I=\int_L\left(\mathrm{e}^{x^2}\sin x-2xy\right)\mathrm{d}x+\left(6x-x^2-y\cos^4y\right)\mathrm{d}y.

令曲线为 L, 将从点 A 到点 B 的直线记作 L_1, 围成的区域记作 D, 使用格林公式计算这个问题.

示意图如下:

使用格林公式得到答案:

\begin{aligned} I & =\left(\oint_{L+L_{1}}-\int_{L_{1}}\right)\left(\mathrm{e}^{x^{2}}\sin x-2xy\right)\mathrm{d}x+\left(6x-x^{2}-y\cos^{4}y\right)\mathrm{d}y \\ & =\iint_{D}(6-2x+2x)\mathrm{d}x\mathrm{d}y+\int_{-\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}}\left[\left(\mathrm{e}^{x^{2}}\sin x-2x^{2}\right)+\left(6x-x^{2}-x\cos^{4}x\right)\right]\mathrm{d}x \\ & =6\iint_{D}\mathrm{d}x\mathrm{d}y+-3\int_{-\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}}x^2\mathrm{d}x \\ &=6\pi\cdot1\cdot\frac{\sqrt{3}}{3}\cdot\frac{1}{2}-\frac{1}{4} \\ &=\sqrt{3}\pi-\frac{1}{4}. \end{aligned}

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