继续考研真题, 今天的题目作为数学分析类型的最后一题, 难度不是很高, 但有一些技巧性.
19. 设可导函数 f(x) 严格单调递增且满足: \displaystyle\int_{-1}^{1} f(x) \mathrm{d}x = 0, 记 \displaystyle a = \int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d}x,
(1) 证明: a > 0;
(2) 令 \displaystyle F(x) = a(1 - x^2) + \int_{1}^{x} f(t) \mathrm{d}t, 证明: 存在 \xi \in (-1, 1), 使得 F''(\xi) = 0.
(1) 首先分析题目在说什么: 若 \displaystyle\int_{-1}^{1} f(x) \mathrm{d}x = 0, 那么意思就是在 (-1,1) 区间内 f 在 x 轴上方的面积与下方的面积相等 (也可以理解为 f 在 (-1,1) 的平均值是 0) ; 严格递增说明了 f(-1)\le0 且 f(1)\ge0.
那么 a 是什么？第一问要证明它是正的, 要解决这个问题需要质疑: a 凭什么不能是负的？我们尝试构造一个 f 将 a 变成负的:
首先 f(0) 应当要小于 0, 不然这个 a 肯定是正数; 其次我们需要让 f 在 (0,1) 区间上在 x 轴下方的面积比上方的要大.
但仔细想想就会发现不可能. 如果在 (0,1) 区间上就已经是负数的话, 那么在 (-1,0) 上也是负数, 从而 \displaystyle\int_{-1}^{1} f(x) \mathrm{d}x < 0, 与题设矛盾.
这下我们就有一个思路了.
证明:
由于 f 严格单调递增, 故存在 x_0 \in (-1,1) 满足 \displaystyle\lim_{x\to x_0^-}f(x)\le 0 同时 \displaystyle\lim_{x\to x_0^+}f(x)\ge 0. (不直接写 f(x_0)=0 是为了照顾 f 不连续的情况)
- 若 x_0\le0, 那么由于 f 递增, a>0.
- 若 x_0\gt0, 那么有 \displaystyle\int_{-1}^{x_0} f(x) \mathrm{d}x \lt 0, 于是 \displaystyle a=\int_{-1}^{1} f(x) \mathrm{d}x - \int_{-1}^{x_0} f(x) \mathrm{d}x\gt0.
证毕.
实际上, 此题的答案是在 \displaystyle \int_{-1}^{1} f(x) \mathrm{d}x=\int_{-1}^0f(x)\mathrm{d}x+\int_0^1f(x)\mathrm{d}x 这个等式基础上做文章解答的. 这种方式的证明方法如下:
由于 \displaystyle\int_{-1}^{1} f(x)dx = 0, 所以 \displaystyle\int_{-1}^{0} f(x)dx + \int_{0}^{1} f(x)dx = 0, 又 \displaystyle\int_{-1}^{0} f(x)dx = \int_{0}^{1} f(-x)dx, 故 \displaystyle\int_{0}^{1} f(-x)dx + \int_{0}^{1} f(x)dx = 0, 又 f(x) 严格单调递增, 所以当 x \in (0,1) 时, f(-x) < f(x), 于是有 \displaystyle\int_{0}^{1} f(-x)dx < \int_{0}^{1} f(x)dx, 故
即 0 < 2a, 也即 a > 0.
这种纯代数证明需要一些技巧和熟练度, 很难对题目本身就分析出这种方法, 在学习的过程中, 最主要的还是锻炼自己的思维, 对于考试更多需要的才是技巧.
(2) 对所有考虑存在区间上某数使得导数等于某个数的问题, 都要先朝 Lagrange 中值定理的方向思考. 当然本题需要证明的是等于 0, 此时可能退化为 Rolle 定理, 不过本质上都是一样的.
直接将 -1, 0 和 1 带入 F:
于是存在 \xi_1\in(-1,0), \; \xi_2\in(0,1) 使得 F'(\xi_1)=0,\;F'(\xi_2)=0, 即存在 \xi 使得 F''(\xi)=0.
题目以及部分解答参考文章 2026考研数学一真题及完整答案 - 八一考研数学竞赛.
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