本文用于《实变函数》复习. 本文仅用于梳理知识结构, 不会给出任何证明.

本文仅适合已经学过此课程的人作为复习, 不适合尚未学习或者正在学习此课程的学生.

本文使用的参考教材：实变函数与泛函分析概要. 第一册/郑维行, 王声望编. – 5 版. – 北京：高等教育出版社, 2019.4 ISBN 978-7-04-051236-6

第一章 点与点集

定义

映射：

设 A, B 是两个非空集, 若依一定的法则 f, 对每个 x\in A, 在 B 中有一个确定的元 y 与之对应, 则称 f 是定义在 A 上而取值为 B 的映射, 记为 f: A\rightarrow B. 此时称 A 为 f 的定义域, f(A)=\{f(x):x\in A\} 为 f 的值域.

集合的特征函数：

\chi_E=\begin{cases} 1, & x\in E \\ 0, & x\notin E \end{cases}

对等：

对 A 和 B 两个集合, 若存在一一映射 f 使得 f(A)=B, 则称 A 与 B 一一对应或互相对等, 记作 A \sim B.

可数集：

与自然数集 \mathbb{N} 对等的集合称作可数集/可列集.

邻域、内点、开集：

设 E 为一维欧几里得空间 \mathbb{R} 的任一子集 ,a\in\mathbb{R}.含有 a 的任一开区间称为 a 的邻域. 对于 \mathbb{R} 中一点 a, 如果存在 a 的某个邻域 (\alpha,\beta) 整个含于 E 内, 这时 a\in(\alpha,\beta)\subset E, 则称 a 为 E 的内点. 因而 E 的内点必属于 E. 若 E 的每一点都是 E 的内点, 则称 E 为开集.

聚点：

设 E 为 \mathbb{R} 中的一点集, a\in\mathbb{R}. 若 a 的任一邻域均含有 E 中异于 a 的一点, 则称 a 是 E 的聚点.

导集、孤立点、闭包、闭集：

由点集 E 的一切聚点所成的集称为 E 的导集, 记成 E^\prime, 称 E - E^{\prime} 中的点为 E 的孤立点. E 的闭包是指集 E\cup E^\prime, 并记成 \overline E. 若 E^\prime=E, 称 E 为完全集. 若 E^{c}= \mathbb{R} - E 为开集, 则称 E 为闭集.

构成区间：

开集 G 中满足以下性质的任一开区间称为 G 的构成区间：

• (\alpha, \beta)\subseteq G
• \alpha \notin G, \beta \notin G

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定理

集合运算的结合律和分配律：

(A\cup B)\cup C=A\cup(B\cup C) \\ (A\cap B)\cap C=A\cap(B\cap C) \\ A\cap(B\cup C)=(A\cap B)\cup(A\cap C) \\ A\cup(B\cap C)=(A\cup B)\cap(A\cup C)

De Morgan 律：

(A\cup B)^c=A^c\cap B^c \\ (A\cap B)^c=A^c\cup B^c

差集的计算：

A\setminus B=A\cap B^c

差集的分配律：

A\setminus(B\cup C)=(A\setminus B)\cap(A\setminus C) \\ A\setminus(B\cap C)=(A\setminus B)\cup(A\setminus C)

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对等的性质：

• 自反性    A \sim A
• 对称性    A \sim B \Leftrightarrow B \sim A
• 传递性    A \sim B, B \sim C \Rightarrow A \sim C

可数个可数集的并依然可数：

可数个可数集的并是可数的.

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开集性质：

• 任意开集的并是开集
• 有限开集的交是开集

闭集的充要条件：

E 为闭集的充分必要条件是 E'\subseteq E.

导集恒闭：

任何集 E 的导集是闭集.

闭集的性质, 与开集相反：

• 任意个闭集的交为闭集
• 有限个闭集的并为闭集

开集的构造：

有界非空开集 G 可表示为至多可数个互不相交的构成区间的并

G=\bigcup_{k}\:(\:\alpha_{k},\beta_{k}\:).

第二章 Lebesgue 测度

定义

开集测度：

设 G 为非空开集, 记 (\alpha_k, \beta_k) 为 G 的构成区间. 规定开集 G 的测度为它的一切构成区间长度的和, 并记为 mG:
mG = \sum_{k} \left(\beta_k - \alpha_k\right).

闭集测度：

设 F 为非空闭集, 任取一包含 F 的开区间 (a,b), 令 G=(a,b) - F, 则 G 为开集.定义闭集 F 的 测度为
mF=b-a-mG.

内测度、外测度：

设 E 为有界集, E 的外测度定义为一切包含 E 的开集的测度的下确界, 并记成
m^*E=\inf_{G\supseteq E}mG.
E 的内测度则定义为一切含于E中闭集的测度的上确界, 并记成
m_*E=\sup_{F\subseteq E}mF.

可测集：

设 E 为有界集, 当 m_{*}E= m^{*}E 时, 称 E 为可测的. 此时外测度与内测度统称测度, 记作 mE.

Borel 集：

至多可数个开集或闭集作交或并计算得到的集合统称为 Borel 集.

定理

测度公理：

• 非负性     mE\geqslant 0
• 有限可加性   若 E_1\cap E_2=\varnothing, 则 m(E_1\cup E_2) = mE_1+mE_2
• 单位测度    m[0,1]=1

开集测度的性质：

• 单调性     设 G_{1},G_{2} 是两个有界开集, 且 G_{1}\subset G_{2}, 则 mG_{1}\leqslant mG_{2}.
• 半可加性    设有界开集 G 是有限个或可数个开集 G_1,G_2,\cdots 的并, 则
  mG \leqslant \sum_k mG_k.
• 完全可加性   若上述 G_k 互不相交, 则
  mG = \sum_k mG_k.

内、外测度的半可加性 (其中内测度要求 E_k 互不相交) ：

m^*E\leqslant \sum_{k=1}^\infty m^*E_k, \\ m_*E\geqslant \sum_{k=1}^\infty m_*E_k.

有界集 E 可测的充要条件 (1) ：

\forall \varepsilon \gt 0, \exist 开集 G \supseteq E 与闭集 F \subseteq E 使得 m(G-F) \lt \varepsilon.

有界集 E 可测的充要条件 (2) —— Carathéodory 条件：

对任意集 A 有以下等式成立：

m^*A=m^*(A\cap E)+m^*(A\cap E^c).

测度的单调性：

E_1\subseteq E_2 \Rightarrow mE_1\leqslant mE_2.

可测集关于可列并、可列交、补、差运算的封闭性：

• E 可测 \Rightarrow E^c 可测.
• E_k 均可测 \Rightarrow \bigcup_{k=1}^\infty E_k 与 \bigcap_{k=1}^\infty E_k 均可测.
• E_1, E_2 可测 \Rightarrow E_1-E_2 可测.

测度的 \sigma - 可加性：

设 E=\bigcup_{k=1}^{\infty} E_{k}, 每个 E_k 均可测, 如果 E_{k} 互不相交, 则有
mE=\sum\limits_{k\:=\:1}^{\infty}\:mE_{k}.

渐张可测集列与渐缩可测集列的极限测度交换律：

有界渐张可测集列 E_1\subseteq E_2\subseteq E_3\subseteq \cdots 有 \lim_{n\to\infty} mE_n =m\bigcup_{k=1}^\infty E_k

有界渐缩可测集列 E_1\supseteq E_2\supseteq E_3\supseteq \cdots 有 \lim_{n\to\infty} mE_n =m\bigcap_{k=1}^\infty E_k

一维不可测集的一个构造：

Vitali 集：若两个实数 x, y 相差一个有理数, 则它们属于同一个集合. 此时 \mathbb{R} 被分为等价类, 每个等价类形如 E_x=\{y\in\mathbb{R}:y-x\in\mathbb{Q}\} 并且互不相交. 从每一个等价类中恰好选取一个元素组成一个新的集合 E (此处用到选择公理) , 则 E 不可测.

第三章 可测函数

定义

可测函数：

f 是定义在 E 上的实函数, 对每个实数 \alpha 都有集合 E(f\gt \alpha) 可测, 则称 f 是 E 上的可测函数.

可测函数的等价定义：

将上方的条件 “E(f\gt \alpha) 可测” 替换为如下任意条件：

• E(f\geqslant \alpha) 可测
• E(f\lt \alpha) 可测
• E(f\leqslant \alpha) 可测
• E(f=\infty) 可测且对任意实数 \alpha \lt \beta 有 E(\alpha \lt f \lt \beta) 可测.

简单函数：

f 只取有限多个实数值 c_1, c_2, \cdots, c_n 且 E(f=c_n) 均可测, 则称 f 为简单函数.

连续、连续函数：

设 f(x) 为定义在集 E 上的可测函数, x\in E. 如果对任何点列 x_n\to x \left(x_n\in E\right) 有 f(x_n)\to f(x)\left(n\to\infty\right), 则称 f(x) 在点 x 连续. 约定孤立点处总是连续的. 如果 f(x) 在 E 的每一点连续, 则称 f(x) 是 E 上的连续函数.

几乎处处：

若命题 S 在集合 E 上除了某个零测度子集外处处成立, 则称 S 在 E 上几乎处处成立.

函数对等：

若 f 和 g 在 E 上几乎处处相等, 简称 f 与 g 对等.

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上限集、下限集、集列收敛：

\overline{\lim}A_n=\bigcap_{k=1}^\infty\bigcup_{n=k}^\infty A_n,\quad\underline{\lim}A_n=\bigcup_{k=1}^\infty\bigcap_{n=k}^\infty A_n.

当 \underline{\operatorname*{lim}}A_{n}=\overline{\operatorname*{lim}}A_{n} 时称 A_n 收敛.

逐点收敛：

对于 \forall x\in E 有 \lim_{n\to\infty}f_n(x)=f(x), 称 f 在 E 上逐点收敛.

几乎处处收敛：

若 f 在 E-E_0 上逐点收敛, 其中 mE_0=0, 则称 f 在 E 上几乎处处收敛.

测度收敛：

设 \{f_n(x)\} 是可测集 E 上的可测函数列, f(x) 是 E 上可测函数. 如果对每个 \varepsilon > 0, 有
\lim_{n \to \infty} mE(\ |f_n - f| \geqslant \varepsilon) = 0,
则称序列 \{f_n\} 测度收敛于 f.

近一致收敛：

设 f,f_n 是可测集 E 上几乎处处有限的可测函数. 如果对于任意的 \delta>0, 恒存在 E 的可测子集 E_{\delta},使得 m(E - E_{\delta})<\delta, 而在 E_{\delta} 上序列 \{f_{n}(x)\} 一致收敛于 f(x), 则称序列 \{f_n(x)\} 在 E 上近一致收敛于 f(x).

一致收敛：

若对任意 x\in E 和 \varepsilon\gt 0 都存在仅与 \varepsilon 有关的 N\in \mathbb{N}_+ 使得 n\gt N 时 |f_n(x) - f(x)| < \varepsilon 成立, 称 \{f_n(x)\} 一致收敛到 f(x).

依测度基本列：

f_n 可测且几乎处处有限, 若 \lim_{m,n\to\infty} mE(\left|f_n-f_m\right|\geqslant\varepsilon)=0 对任意 \varepsilon\gt 0 成立, 则称 f_n 为 E 上的依测度基本列.

定理

可测函数对四则运算、绝对值、正负部、最值、极限运算封闭：

设 f,g 是可测函数, \{f_n\}_{n=1}^\infty 是一列可测函数, 则以下函数也为可测函数：

• f+g,\;f-g,\;fg
• g\neq 0 时 \frac{f}{g}
• \left|f\right|
• f_+=\max\{f,0\},\; f_-=\max\{-f,0\}
• \max\{f,g\},\; \min\{f,g\}
• \sup f_n,\; \inf f_n
• \varlimsup f_n,\; \varliminf f_n.

可测函数对连续函数的复合运算封闭性：

若 f:X\to\mathbb{R} 可测, \varphi:\mathbb{R}\to\mathbb{R} 连续, 则 \varphi\circ f 可测.

⚠ 注意：这对一般的 f, \varphi 并不一定成立.

非负可测函数可以表示成简单函数列的极限：

设 f(x) 是可测集 E 上非负可测函数, 则存在一个非负递增的简单函数列 0\leqslant\varphi_1(x)\leqslant\varphi_2(x)\leqslant\cdots 使等式 \lim \varphi_n(x)=f(x) 在 E 上处处成立.

可测函数的充要条件：

f 是 E 上的可测函数 \Leftrightarrow f 可表示为一个简单函数列的极限.

函数的限制：

有时, 函数 f(x) 在 E 上不一定连续, 但看成只定义在 E 的子集 E_0 上时是连续的, 就说 f(x) 限制在 E_0 上是连续的.

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Egorov 定理：

设 E 是可测集且满足三个条件:

• mE<\infty;
• f_n\left(x\right) 与 f\left(x\right) 在 E 上可测且几乎处处有限;
• f_n\left(x\right) 几乎处处收敛于 f\left(x\right).

则对任意 \delta\gt 0 存在 E_\delta 使得:

• E_\delta\in E;
• m\left(E-E_\delta\right)\lt \delta;
• f_n\left(x\right) 在 E_\delta 上一致收敛于 f(x).

几乎处处收敛与近一致收敛的等价条件：

当 mE\lt \infty 时, 几乎处处收敛与近一致收敛等价.

Riesz 定理：

mE\lt \infty, f_n 在 E 上测度收敛于 f 的充要条件是 \{f_n\} 的任意子列都存在子列几乎处处收敛于 f.

依测度收敛的完备性：

f_n 为 E 上的依测度基本列, 则存在 E 上的可测函数 f 使 f_n 依测度收敛于 f.

函数列收敛对线性组合、绝对值、上下确界的封闭性：

若 f_n \rightarrow f, g_n \rightarrow g, 则下面的收敛也成立：

• af_n+bg_n \rightarrow af+bg
• \left|f_n\right| \rightarrow |f|
• \sup\left(f_n, g_n\right)\rightarrow\sup(f,g), \inf\left(f_n, g_n\right)\rightarrow\inf(f,g)

这对逐点收敛、几乎处处收敛、一致收敛、依测度收敛、近一致收敛均成立.

Lusin 定理：

f 是可测集 E 上几乎处处有限的可测函数, 则对任意 \varepsilon\gt 0 存在闭集 F\subseteq E 满足 m(E-F)\lt \varepsilon, 使得 f 限制在 F 上连续.

可测函数可以使用连续函数逼近：

f 在 E 上可测且几乎处处有限, 则对任意 \varepsilon\gt 0 存在 \mathbb{R} 上的连续函数 g 满足 mE(f\neq g)\lt \varepsilon.

第四章 Lebesgue 积分

定义

简单函数的积分：

\int_E \varphi\left(x\right)\mathrm{d}m = \sum_{k=1}^\infty y_k me_k

非负函数的积分与可积：

取简单函数 \varphi 满足 0\leqslant\varphi\leqslant f, 定义 f 的积分为

\int_E f\; \mathrm{d}m = \sup_{0\leqslant\varphi\leqslant f} \int_E \varphi \; \mathrm{d}m

若此量有限, 则称 f 在 E 上可积.

一般函数的积分与可积：

当 \int_E f_+\;\mathrm{d}m 与 \int_E f_-\; \mathrm{d}m 不同时为 \infty 时, 定义 f 在 E 上的积分为

\int_Ef\;\mathrm{d}m=\int_Ef_+\;\mathrm{d}m-\int_Ef_-\;\mathrm{d}m.

若此量有限, 则称 f 在 E 上可积.

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等度的绝对连续积分：

设 E 可测, m E < \infty 且 \{f_{\alpha} : \alpha \in I\} 为 E 上可测函数族. 若对任意的 \varepsilon > 0, 存在 \delta > 0, 使当 m e < \delta (e \subset E) 时不等式
\left| \int_{e} f_{\alpha} \, d m \right| < \varepsilon
关于 \alpha 一致成立, 则称函数族 \{f_{\alpha} : \alpha \in I\} 有等度的绝对连续积分.

定理

非负函数与一般函数的可积性：

f 在 E 上可测, 则 f 与 |f| 的可积性相同.

控制可积定理：

设 f 是 E 上可测函数, 如果存在 E 上可积函数 g 几乎处处成立 |f(x)| \leqslant g(x), 则 f 在 E 上可积且 f 的积分不超过 g 的积分.

可积函数的有限性：

在 E 上的可积函数必几乎处处有限.

积分的绝对连续性：

f 在 E 上可积, 则对任一正数 \varepsilon, 存在正数 \delta 使得 me\lt \delta \;(e\subseteq E) 时
\left| \int_e f\, \mathrm{d}m\, \right|\lt \varepsilon.

积分的 \sigma - 可加性：

f 是 E 上可积, E=\bigcup_{k=1}^\infty E_k 且 E_k 互不相交, 则
\int_{E}f\,\mathrm{d}m=\int_{E_{1}}f\,\mathrm{d}m+\int_{E_{2}}f\,\mathrm{d}m+\cdots+\int_{E_{k}}f\,\mathrm{d}m+\cdots.

基本引理：

f 在 E 上非负可积, 简单函数列 f_n 满足
0\leqslant f_1(x)\leqslant f_2(x)\leqslant\cdots;\quad\lim_{n\to\infty}f_n(x)=f(x),

则

\int_Ef(x)\mathrm{d}m=\lim_{n\to\infty}\int_Ef_n(x)\mathrm{d}m.

积分的线性性：

\int_E\left(\alpha f+\beta g\right)\mathrm{d}m=\alpha\int_Ef\,\mathrm{d}m+\beta\int_Eg\,\mathrm{d}m.

积分的单调性：

设 f,g 在 E 上均可积, 且 f(x)\leqslant g(x), 则
\int_{E}f\,\mathrm{d}m\leqslant\int_{E}g\,\mathrm{d}m.

积分的唯一性：

设 f 在 E 上可积, 则 \int_E \left|f\right| \mathrm{d}m=0 的充分必要条件是 f=0 在 E 上几乎处处成立.

可积函数可以使用连续函数逼近：

f 在 [a,b] 上可积, 则对任意 \varepsilon\gt 0 存在 [a,b] 上的连续函数 g 使得
\int_{[a,b]}\left|f(x)-g(x)\right|\mathrm{d}m<\varepsilon.

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非负函数积分的 \sigma - 可加性：

设 f(x), u_n(x) 均为可测集 E 上的非负可测函数, 且 f(x) = \sum_{n=1}^{\infty} u_n(x), 则
\int_E f(x) \, \mathrm{d}m = \sum_{n=1}^{\infty} \int_E u_n(x) \, \mathrm{d}m.

Levi 定理 (它是上方定理的变形) ：

设可测集 E 上可测函数列 \{f_n(x)\} 满足下面的条件：
0 \leqslant f_1(x) \leqslant f_2(x) \leqslant \cdots, \quad \lim_{n \to \infty} f_n(x) = f(x),
则 \{f_n(x)\} 的积分序列收敛于 f(x) 的积分：
\int_E f(x) \, dm = \lim_{n \to \infty} \int_E f_n(x) \, dm.

Fatou 定理：

f_n 是 E 上的非负可测函数列, 则
\int_E\varliminf_{n\to\infty}f_n(x)\,\mathrm{d}m\leqslant\varliminf_{n\to\infty}\int_Ef_n(x)\,\mathrm{d}m.

Lebesgue 控制收敛定理：

设可测集 E 上可测函数列 \{f_n(x)\} 满足下述条件：f_n(x) 的极限存在, f(x)=\lim_{n\to\infty}f_n(x), 且有可积函数 g(x) 使 |f_n(x)|\leqslant g(x),
则 f 可积且有
\int_E f(x)\,\mathrm{d}m = \lim_{n\to\infty}\int_E f_n(x)\,\mathrm{d}m.

有界收敛定理 (它是上方定理的特例) ：

mE\lt \infty, f_n 满足 |f_n|\leqslant M, 则有 f=\lim f_n 可积且

\int_E f(x)\,\mathrm{d}m = \lim_{n\to\infty}\int_E f_n(x)\,\mathrm{d}m.

Lebesgue-Vitali 定理：

设 mE\lt \infty, f_n 可积且测度收敛于 f, 则
\lim_{n\to \infty} \int_E \left|f_n-f\right| \mathrm{d}m=0

成立的充分必要条件是 f 在 E 上有等度的绝对连续积分.

注：由它可以证明, Lebesgue 控制收敛定理对 f_n 测度收敛于 f 的情形依然成立.

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Riemann 积分与 Lebesgue 积分的关系：

定义在有限区间上的函数若 Riemann 可积, 则必 Lebesgue 可积, 且积分值相等.